均值不等式证明过程(基本不等式6个公式)-读后感范文网

均值不等式：

当a，b∈R?时，√ab≤(a+b)/2，当且仅当a=b时取等号。

推导如下：

因为(√a-√b)2≥0

所以a+b-2√ab≥0

所以a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取等号。

所以√ab≤(a+b)/2，当且仅当a=b时取等号。

高中数学基本不等式常用的有六个，在以后学习的过程中还要积累一些常见的不等式。

1.基本不等式a^2+b^2≧2ab

对于任意的实数a,b都成立，当且仅当a=b时，等号成立。

证明的过程：因为（a-b）^2≧0，展开的a^2+b^2-2ab≧0，将2ab右移就得到了公式a^2+b^2≧2ab。

它的几何意义就是一个正方形的面积大于等于这个正方形内四个全等的直角三角形的面积和。

2.基本不等式√ab≦(a+b)/2

这个不等式需要a，b均大于0，等式才成立，当且仅当a=b时等号成立。

证明过程：要证(a+b)/2≧√ab，只需要证a+b≧2√ab，只需证（√a-√b）^2≧0，显然（√a-√b）^2≧0是成立的。

它的几何意义是圆内的直径大于被弦截后得到直径的两部分的乘积的二倍。

3.b/a+a/b≧2

这个不等式的要求ab＞0，当且仅当a=b时等号成立，也就是说a，b可以同时为正数，也可以同时为负数。

证明的过程：b/a+a/b(a^2+b^2)/ab≧2，只需证a^2+b^2≧2ab即可。

4.基本不等式的拓展公式：a^3+b^3+c^3≧3abc，a，b，c均为正数。

5.（a+b+c）/3≧3√abc，a，b，c均为正数，当且仅当a=b=c时等号成立。

6.柯西不等式。

问题补充：
已知：a0，b0求证：(a+b)2=√ab证明：(a+b)2-√ab =(a-2√ab+b)2 =(√a-√b)2∵(√a-√b)=0∴(a+b)2-√ab=0即(a+b)2=√ab

a+b≥2√ab 这个，当且仅当a=b时，a+b有最小值就是这个，为什么？
a – 2√(ab) + b=(√a – √b)^2我们知道对于一个平方肯定是大于等于 0 的，即(√a – √b)^2 ≥0从这个式子中我们可以看到，这个平方最小值就是等于 0，此时：√a – √b = 0即 a = b

我的思路是利用均值不等式得出它不会超过根号ab，但是单调性无法证明。请问该怎么证明增减性？
在n=1范围内，无法证明单调性此题有多种解法，最简单的是利用重要极限和洛必达法则求解原式=lim(n-∞) {{1+[a^(1n)+b^(1n)-2]2}^{2[a^(1n)+b^(1n)-2]}}^{[a^(1n)+b^(1n)-2]*n2}=lim(n-∞) e^{[a^(1n)+b^(1n)-2]*n2}令t=1n，则t-0+原式=lim(t-0+) e^[(a^t+b^t-2)(2t)]=lim(t-0+) e^[(lna*a^t+lnb*b^t)2]=e^[(lna+lnb)2]

我的思路是利用均值不等式得出它不会超过根号ab，但是单调性无法证明。请问该怎么证明增减性？
在n=1范围内，无法证明单调性此题有多种解法，最简单的是利用重要极限和洛必达法则求解原式=lim(n-∞) {{1+[a^(1n)+b^(1n)-2]2}^{2[a^(1n)+b^(1n)-2]}}^{[a^(1n)+b^(1n)-2]*n2}=lim(n-∞) e^{[a^(1n)+b^(1n)-2]*n2}令t=1n，则t-0+原式=lim(t-0+) e^[(a^t+b^t-2)(2t)]=lim(t-0+) e^[(lna*a^t+lnb*b^t)2]=e^[(lna+lnb)2]

均值不等式证明过程(基本不等式6个公式)